第四十八章 我要交卷

第四十八章 我要交卷 (第1/2页)

秦克刷刷刷地在试卷的答题区边写边画起来：
　　
　　“解：把1，2，…，13按如下规则排成一个圆圈：先排1，在1旁边放9（与1的差为8），在9的旁边放4（与9的差为5），这样继续放下去，每个数旁边的数与它相差8或5，最后得到如图1所示的一个圈（1，9，4，12，7，2，10，5，13，8，3，11，6），圈上的数能同时满足：”
　　
　　“（1）每两个相邻的数的差或是8，或是5；
　　
　　（2）两个不相邻的数的差既不等于5，也不等于8。
　　
　　所以本题可以化归为：在这个圈上，至多能选几个数，使得每两个数在圈上不相邻。”
　　
　　OK，搞定，完成化归了。
　　
　　这个化归后的问题，是不是与他给宁青筠举过的例子实质一模一样了？
　　
　　所以接下来秦克做起来毫无难度可言，直接将那例子的解法写出来就行了。
　　
　　“再画一个圈，依次排上1，2，…，13，那么可以选出6个数字，符合不相邻的条件，比如1，3，5，7，9，11。见图2。
　　
　　接下来验证最多可以选几个数字。我们先任意选定数字1，这时与之相邻的2，13都不能选了，把剩下的10个数字配成5对，分别是：（3，4）、（5，6）、（7，8）、（9，10）、（11，12）。在这5对数字中，每一对至多只能选出1个数，也就是说，连同数字1在内，最多只能选出6个数字，使它们互不相邻。
　　
　　由此可以得出本问题的答案是：6。”
　　
　　秦克轻松加愉快，在五分钟不到就搞定第一道附加题。
　　
　　他看了眼窗外，不知道宁青筠有没有想起这例题和能不能运用出化归法，如果也能想起，那这25分她自然能稳稳收入囊中了。
　　
　　加油吧，学委，我只能帮你到这里了。
　　
　　秦克又向看第二题，第二题也相当有难度，难怪能选为附加卷的大题。
　　
　　“附加题2：设△ABC中，顶点A，B，C的对边分别是a，b，c，内心I到顶点A，B，C的距离分别为m，n，l，求证：al^2+bm^2+cn^2=abc”
　　
　　这一题看似条件不足无从下手，但秦克略一思索，便有了思路。
　　
　　他决定用面积法来证明。
　　
　　面积法最基本的思想，就是用两种不同的方法计算同一个面积，得到的结果应该是相等的。
　　
　　首先引入△ABC的外接圆半径R，由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，
　　
　　三角形面积S=(1/2)absinC
　　
　　=(1/2)ab·c/2R
　　
　　=abc/4R，
　　
　　所以S=abc/4R。
　　
　　再将△ABC分割为3个四边形，ΔABC的面积S，显然等于3个四边形的面积之和S。
　　
　　如此便将上面的S=abc/4R与3个四边形面积之和，建立起面积等式。
　　
　　再根据3个四边形都有外接圆，且对角线相互垂直，用已知量来表示它们的面积并不会太难，再借助△ABC的外接圆半径R可以消去角的正弦，不出意外，轻易就能证明这题的结论。
　　
　　OK，开干。
　　
　　“证明：设△ABC内切圆与三边BC，CA，AB分别相切于D，E，F，分别连接EF，EI，FI，DI，AI，分别得到AEIF，BFID，CDIE三个四边形……”
　　
　　

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