第六十四章 塞瓦定理、梅涅劳斯定理

第六十四章 塞瓦定理、梅涅劳斯定理 (第1/2页)

看看时间，居然花了差不多十五分钟，秦克搓了搓冰冷僵硬的手指，然后用力地掐了下大腿，让自己的大脑保持着清醒，但身上的寒意越来越盛，偏呼出的气息越来越灼热，太阳穴也越来越胀痛，有种隐隐的晕眩感。
　　
　　秦克能明显感觉自己的思维速度较之开考时又下降了不少。
　　
　　不行，要再加快点！
　　
　　秦克深吸口气，强逼自己集中精神，继续看向第二道附加题。
　　
　　“附加题二：已知△ABC的三条边BC、CA、AB上各有一点D、E、F，且满足AD、BE、CF交于一点G，若△AGE，△CGD，△BGF的面积相等，求证：G是△ABC的重心。”
　　
　　秦克松了口气，这题看起来较之刚才第一题倒是相对容易了些，主要知识点涉及到的是三角形五心中的“重心”，也就是三角形的三条中线相交的点。
　　
　　这是高中生都会的知识点，想证明G是△ABC的重心，只需要证明D、E、F是△ABC的中点即可。
　　
　　看似简单，但想证明这点极不容易，因为题目中只给出了面积相等的条件。
　　
　　面积啊……
　　
　　秦克立时试着用最擅长构造法加面积法来证明，但刚在脑海里思考了一会儿便发现不妥了。
　　
　　以目前的条件，无论怎么构造，结合面积法，都只会让问题变得更复杂，哪怕写满整页纸，也未必能证明出来！那就真是纯属浪费时间和精力了！
　　
　　这是出题人的陷阱！
　　
　　可恶，这次出题的家伙有点水平啊……偏偏自己的状态不佳。
　　
　　秦克再次用力掐了自己大腿两下，剧烈的疼痛终于让他的大脑清明了十几秒，他立时捕捉住一闪而逝的灵光，对哦，平面几何里不是有塞瓦定理、梅涅劳斯定理么？
　　
　　尤其是解决三角形中的一点，以及三角形的三边中的点之间的关系，最适合使用的就是边元塞瓦定理和角元塞瓦定理！
　　
　　虽然这两个定理生僻了点，但自己前天不是才给宁青筠讲解过么？
　　
　　秦克迅速便想到了证明思路，提笔便画了个图，然后写道：
　　
　　“证明：如图所示，设AF/FB=x，BD/CD=y，EC/EA=z，由边元塞瓦定理可得xyz=1。
　　
　　对于△BFC和直线AGD，使用梅涅劳斯定理，可得FE/CG乘CD/DB乘BA/AF=1。
　　
　　……
　　
　　由上式可得x=y=z，由xyz=1可得，x=y=z=1，因此可得出结论，D、E、F是△ABC的中点，所以G是△ABC的重心。原题得证。”
　　
　　写了三十多行的证明过程，秦克长长地舒了口气，这出题人明显是挖坑，专门针对的是自己这样熟悉运用各种解题技巧策略的考生，一时不慎就要误入岐途。
　　
　　连他这样的老手也差点着了道儿，被惯用的解题技巧所惑、走个大弯路，使得这题的解法变得极为繁复艰辛，真要证明出来，怕得花上一个小时。
　　
　　幸好自己迅速发现了其阴谋，直接运用塞瓦定理、梅涅劳斯定理来破题，极大地缩短了证明的过程和耗尽的时间。
　　
　　——学委啊学委，前天我才给你讲过这塞瓦定理、梅涅劳斯定理，这题你可别中计，可是整整五十分哪！拿不到手多可惜！
　　
　　不过秦克现在已没余力再去思考宁青筠的事了，他的头脑的晕晕沉沉感觉越来越严重，强打精神匆匆看了下两道附加题的答案，见没什么错漏，便将之折起来，当成垫纸压到正卷和草稿纸下面，开始攻打正卷里的十道省级难题。
　　
　　

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