第六章 流数术与无穷级数（2）

第六章 流数术与无穷级数（2） (第2/2页)

抛物线是一条曲线。经验告诉艾拉，每当问题和曲线相关的时候，难度就会一下子变大。
　　
　　通过坐标轴，艾拉已经可以用数字描述各种各样的曲线。为了给自己一些信心，她先是选择了最简单的抛物线：y=x2来进行研究。
　　
　　她做了一条直线y=1，与抛物线交于一个a点。这样，抛物线、直线、x轴三条线就围成了一个不规则的几何图形。
　　
　　艾拉想要计算出这个不规则图形的面积。
　　
　　她在抛物线上找出一个个点，分别垂直x轴与y轴做出两条线，以此把这个不规则图形分成了一个个矩形。这些矩形的面积加起来显然大于那个不规则图形的面积。然而，把这些矩形分的越细,他们的面积就会越接近于那个不规则图形。
　　
　　艾拉假设从坐标轴原点到y=1这条直线之间分出了n个矩形,那么每个矩形的宽度就是1/n。又因为抛物线的函数式是y=x2,那么第一个矩形的高就是（1/n）2,第二个矩形的高度就是（2/n）2……
　　
　　那么，所有矩形的面积之和就是：
　　
　　s=1/n×（1/n）2＋1/n×（2/n）2＋……＋1/n×（n/n）2
　　
　　这是一个无穷级数。然而，戈特弗里德曾经教过艾拉无穷多项式的平方和公式。在利用这个公式将这个无穷级数化简之后，她得到了一个极为简单的算式：
　　
　　s=1/3+1/（2n）+1/（6n2）
　　
　　n越大，矩形的面积和就越接近于那个不规则图形。那么当n无限大的时候，矩形的面积之和s就会等于那个不规则图形的面积。此时，1/（2n）和1/（6n2）就是无限小，完全可以舍去。
　　
　　于是这个不规则图形的面积就显而易了:s=1/3。
　　
　　——无限大、无限小
　　
　　艾拉把刚刚出现的这两个概念低声念了一遍。在数学运算中出现了无限的概念，让她多少感到有些不适。
　　
　　她甩甩头，把这种不适感抛到脑后，然后将函数式由y=x2改成了y=x3
　　
　　虽然只是轻微的改动，但要求出面积的难度立刻大了数倍。这次，艾拉写了整整两页纸，也没能向先前一样把公式化简。
　　
　　“为什么一涉及曲线，就总是会出现无限啊！”
　　
　　艾拉抛下笔，抱着头哀嚎了起来。
　　
　　无限，这是所有数学家都难以跨越的深渊。
　　
　　抛物线和圆都还只是最简单的曲线，只不过是从无限的深渊边探出来的一根小小的树枝。艾拉抓住了这根小树枝。可当继续下望时，她看到的是更为恐怖的深渊——利用坐标轴和函数式，她找到了许许多多阿基米德根本无法描述的复杂曲线。
　　
　　她发现了它们，却根本无法驾驭它们。这仿佛是神明的一个警告：人啊，做你该做的事！
　　
　　无限，这是人类绝对不能涉足的禁区。
　　
　　“毕达哥拉斯学派的魔法也太难学了！”
　　
　　艾拉又一次大喊了起来。
　　
　　“小声点！”
　　
　　亚伯拉罕正教会的人纷纷向艾拉投来了不满的视线，吓得艾拉慌忙捂住了嘴巴。